Originaire de Concarneau, Henri Joncourt découvrit le football dans les rangs du club de sa ville natale, l'US Concarneau.

A l'âge de 20 ans, il rejoignit le club parisien du Red Star avec qui il remporta une Coupe de France en 1942. Il fut d'ailleurs le premier buteur de cette finale face à Sète (2-0). Mais n'hésitant pas à afficher ses convictions anti-nazies, il prit le maquis et retourna en Bretagne pour participer à la lutte contre l'Occupant.

Une fois la guerre terminée, il retourna jouer dans la Capitale avant d'être placé sur la liste des transferts par le club audonien. Il joua pour le Stade Français avant de signer en faveur des Girondins de Bordeaux en octobre 1948. Sa venue entrait dans le cadre du passage d'Henri Arnaudeau, le buteur bordelais, au club parisien. Il ne resta que quelques mois en Gironde avant de s'illustrer en division d'Honneur, à l'US Beauregard, club de la ville de Laval.

Il devint ensuite entraîneur à Concarneau, Quimperlé et Lorient.