Né à San Pedro Sula, deuxième ville du Honduras, Alberth Josué Elis Martinez débuta le football dans un club de cette localité, le Real CD Espana. Il poursuivit sa carrière au EF Esafi puis à Inmude, deux formations honduriennes. A 15 ans, il n'hésita pas à partir faire un stage au Mexique avant de revenir défendre les couleurs du CD Olimpia, le plus grand club du pays. Il découvrit également les compétitions internationales avec les sélections de jeunes, notamment la Coupe du Monde U17 en 2013.

Durant l'été 2016, il brilla lors des Jeux Olympiques conduisant, à la surprise générale, sa sélection en 1/2 finale de la compétition. Ses brillantes performances lui valurent de rejoindre le championnat mexicain et le CF Monterrey. Après 6 mois au Mexique, il tenta sa chance en MLS au sein de la franchise de Houston. Là, il s'affirma comme l'un des meilleurs attaquants du championnat nord-américain, figurant même sur la jaquette du jeu vidéo FIFA 19 sur ce continent.

En 2020, à 24 ans, il traversa l'Atlantique pour rejoindre le club portugais de Boavista, recruté par Admar Lopes, futur directeur sportif des Girondins. La Pantera s'adapta rapidement au jeu européen, suscitant des intérêts de clubs écossais ou anglais.

Mais l'arrivée de Gérard Lopez, également propriétaire de Boavista, à la tête des Girondins régla l'affaire et le joueur hondurien débarqua en Gironde en août 2021, sous forme de prêt, dans un premier temps. Il inscrivit 9 buts lors de sa seule saison en L1, un total correct mais insuffisant pour aider les Girondins à ne pas tomber en L2. 

Annoncé sur le départ pour renflouer des caisses qui commençaient déjà à sonner le vide, puis blessé, il ne s'inscrit pas dans le projet de remontée immédiate. En janvier 2023, il fut même prêté en L1, au Stade Brestois. N'inscrivant aucun but dans le Finistère, il revint à Bordeaux à l'issue de son prêt. 

A l'image de l'équipe bordelaise jamais à son affaire durant la saison 2023-2024, Elis ne fut d'aucun secours pour éviter une médiocre 12ème place en L2. Il se blessa même grièvement en février 2024, clôturant ainsi son passage sous le maillot marine et blanc. 

Les déboires financiers des Girondins le contraignirent à quitter le club durant l'été 2024 alors qu'il ne semblait pas encore avoir recouvrer tous ses moyens physiques...