Natif de Tbilissi en Géorgie, Zuriko Davitashvili, fils d'un footballeur professionnel, réalisa sa formation au sein du Dinamo Tbilissi. Il gravit tous les échelons et débuta en Première division, à peine âgé de 16 ans, tout en connaissant toutes les sélections nationales des jeunes.

Il ne disputa que 6 matches dans son club formateur avant de rejoindre le FC Lokomotiv Tbilissi pour obtenir davantage de temps de jeu. Ses performances attirèrent le regard des recruteurs de clubs russes et, en juillet 2019, il signa pour le Rubin Kazan. Il y retrouva Khvicha Kvaratskhelia, la future star du Napoli, formée à ses côtés au Dinamo. Il poursuivit sa carrière ensuite sous les couleurs du Rotor Volvograd puis de l'Arsenal Tula.

De retour en Géorgie en avril 2022, Zuriko s'engagea avec le Dinamo Batumi, champion en titre. Mais durant l'été suivant, ses bonnes performances (6 buts en 14 matches) et sa participation à des rencontres de qualification pour la Ligue des Champions lui ouvrirent les portes des Girondins de Bordeaux.

Prêté avec option d'achat, l'ailier géorgien ne tarda pas à afficher toutes ses qualités. En inscrivant 6 buts en 32 apparitions, il participa activement à la belle saison du club bordelais même si l'accession en L1 ne fut pas au rendez-vous. 

Transféré définitivement en Gironde grâce à ses bonnes performances, il connut un début de seconde saison plus délicat. Néanmoins, avec le championnat d'Europe avec sa sélection en perspective, il monta en puissance lors de la fin de saison, devenant le joueur le plus décisif.

Remplaçant lors de l'Euro au sein d'une équipe de Géorgie, très en verve (8ème de finaliste), il accepta la proposition de l'AS Saint-Etienne et quitter des Girondins englués dans des problèmes financiers et sportifs. Il pouvait enfin découvrir la L1 avec le club forézien... Il laissa de très bons souvenirs au Haillan.